1.1 函数

基础定义

函数与复合函数

定义

• 函数：设变量有规定的取值范围，如果对任意的，按照某种关系总有唯一确定的值与之对应，称为的函数，记为，其中的合法值集合叫做函数的定义域，能取到的所有值的集合叫做函数的值域；
• 复合函数：设，且对任意的，有，称为的复合函数，记为；

注意

• 复合函数的定义域是使成立的的范围与原本的范围的交集；

初等函数

定义

• 基本初等函​​数：称 $\left{\right.$ 为基本初等函数；
• 初等函数：由常数及基本初等函数经过 有限次 的四则运算和复合运算而成的式子构成的函数称为初等函数；

反函数与隐函数

定义

• 反函数：已知函数，其值域为，如果对于任意的，都能通过得到唯一确定的与之对应，则称为的反函数，记为；
• 隐函数：设方程，若当取某区间内的任一值时，总有满足该方程的唯一的值存在，则称方程在上述区间内确定了一个隐函数；

注意

• 单调的函数一定具有反函数；
• 连续的，具有反函数的函数，一定是单调的函数；
• 如图所示，不单调且不连续的函数，但是对于每一个，有唯一对应的，因此该函数具有反函数；
• 函数不连续，也不单调，具有反函数；

​​

邻域

定义

邻域：设​是数轴上一个点，是某一正数，则称为点的邻域，记作，即，其中点称为邻域的中心，称为邻域的半径；

去心邻域：定义点的去心邻域；

左邻域：称为点的左邻域，记作；

右邻域：称为点的右邻域，记作；

注意

• 左右邻域都是单边去心邻域；

函数的初级性质

有界性

定义

设，若存在，对任意的，总有，称函数在 D 上有界；

注意

• 有界的充要条件是既有上界又有下界；
• 注意区分有界性和极限的有界性；

奇偶性

定义

设， 其中定义域 关于原点对称 ；

若，称在上为奇函数；

若，称在上为偶函数；

注意

​#微积分/记忆#​

• 任意一个函数，定义域关于原点对称，可以分解成一个奇函数和一个偶函数；

  对于函数，令，；

  显然，且

  ，为偶函数；

  ，为奇函数；

单调性

定义

设函数)在 D 上有定义：

若对任意的，且，有，则称函数在上单调增加；

若对任意的，且，有，则称函数在上单调减少；

注意

• 函数连续且一阶可导，如果函数单调递增，则一阶导数大于等于 0，如果函数单调递减，那么一阶导数小于等于 0；

• 严格单调，是对单调的精确描述，要求函数在定义域内任意的开子区间上导数不恒等于 0；

  即允许区间内单个点导数值为 0，但是不能存在连续的多个点导数为 0；

周期性

定义

设，若存在，对任意的，都满足，则称为周期函数，称为的周期；

注意

1. 若以为周期，则以为周期；
2. 若是周期函数，则复合函数也是周期函数，如等；
3. 若是以为周期的可导函数，则也以为周期；
4. 若是以为周期的连续函数，则只有在时，也以为周期