2.1 导数与求导

导数与微分的定义

定义

• 增量：已知函数，现有一个，且，则增量；
• 导数：令，如果存在，则称函数在该点处可导，记为 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|{x=x{0}}$；
• 微分：令，如果，则称函数在该点处可微，微分记作 $\left.dy\right|{x=x{0}}=A\Delta x=Adx$；

注意

• 一元函数的可微与可导等价；

• 函数在某点处可导的充要条件是左右导数存在且相等；

  • 导数在某点处的值，是一个极限的值，导数存在，即极限存在，即左极限等于右极限；

• 函数在某点可导，则在该点必连续，反之不对；

• 连续且可导与连续可导的区别：

  • 连续且可导：函数在区间内连续，并且区间内处处可导，每个点都存在导数值；
  • 连续可导：含义是该函数在区间内不仅处处可导，而且导函数的函数值也是连续的，等价于导函数连续；

对导数定义的理解 #微积分/重要#​

• ​如果，则，如果，则；

• 对函数可导的理解：即原函数在某点处有定义，而他的导函数在该点处没有定义，则我们称之不可导；

  • 例如，其原函数在零点处没有定义，导函数同样，因此虽然有间断点零点，但是依然是可导的；

导数与微分的区别

​​

奇偶性在求导过程的传递

• 奇函数的导数一定是偶函数；反之不对，偶导数的原函数一定关于某点对称，但是未必过原点，只有过原点的才叫奇函数；

• 偶函数的导数一定是奇函数；奇函数的原函数一定是偶函数；

• 周期函数的导数一定是周期函数；反之不对，周期导函数的原函数可能是平滑的阶梯函数；

某点处可导的性质分析

函数在	有定义	极限存在	连续	可导
某点	函数在该点有函数值 =a	函数在去心邻域内有定义（从某点推到去心邻域内） 去心邻域内的点共同趋近于一个值 对该点处没有要求	该点处极限存在（1.函数在去心邻域内有定义 2.去心邻域内的点共同趋近于一个值） 函数在该点有定义（对该点处也有要求） 极限值等于函数值	该点处连续（1.邻域内有定义 2.该点处极限值等于函数值） 该点处左导数等于右导数
去心邻域内
邻域内

• 邻域内满足某条件（有定义、极限存在、连续、可导），则某点处和某去心邻域内都满足该条件；而某点处的条件和去心邻域的条件不能相互推导；

• 某点极限存在和连续要求去心邻域内的点有定义，某点可导要求邻域内所有点有定义；

  • 某点二阶可导则一阶导数在邻域内有定义，则原函数在邻域内连续可导；

• 某点处连续不能推导邻域内连续，如；在处连续，在其他点处都不连续；

• 没有定义的点一定是间断点；间断点可以有定义；

只在一点处连续的函数

处处不连续，只在处连续；

；

只在一点处可导的函数

处处不连续，只在处连续；

邻域内可导但导函数不连续的函数

分段函数的特殊点计算导数值，利用定义

；

；

求导公式与导数定义的区别 #微积分/重要#​

注意，定义计算导数值是原始的一定正确的方法，利用求导公式计算导数值，是求导的一种捷径，在一定的特殊情况下不能走这种捷径；

• 左导数与导数的左极限不同：

  • 如上面的函数，在零点处，导数值为0，故左右导数相等且都为0；而导函数在该点处的左极限不存在；
  • 再如函数在零点处无定义，不可导，左导数不存在，但是导函数在零点处的左极限存在；

公式求导法则

基本法则

高阶导数运算法则 #微积分/记忆#​

计算高阶导数还有一种方法是利用泰勒公式；

​​

$$
\begin{aligned}
&(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)} &
&(u v)^{(n)}=\mathrm{C}_n^0 u^{(n)} v+\mathrm{C}_n^1 u^{(n-1)} v^{\prime}+\cdots+\mathrm{C}_n^n u v^{(n)} \

&(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)
&&(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)
\end{aligned}
$$

四则运算法则

复合函数求导链式法则

设、可导，且，则可导，且；

反函数求导法则

• 设可导，且，则存在可导的反函数，且；

• 设二阶可导，且，则存在二阶可导的反函数，且；

  由得，；

隐函数求导

定义

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​​

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• 隐函数：设满足方程，如果对于任意的，由方程可以确定唯一的与之对应，则称方程确定为的隐函数；

• 隐函数存在定理：设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，，则在的某一邻域内由方程恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，满足，并且

注意

• 对隐函数存在定理的理解：

  • 为什么说函数，说邻域内某点处，而不直接说方程：因为后面条件需要用到偏导数的概念；其本质上是一条关于和的二维曲线，是一个二元方程；
  • 条件：如果邻域内对y的偏导数为0，那么变化时，不变，不会对的取值产生影响，那么方程中，可以取多个值，即对于一个值，的值不唯一，不存在隐函数；
  • 条件要求对单调，否则会对应多个值；
  • 条件是充分不必要条件，​也可能存在偏导数；

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参数方程求导

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第一种情况，看作两个隐函数求导；

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