3.2 泰勒中值定理与导数定理

泰勒中值定理

定义

• 泰勒中值定理：如果函数 f(x)在 处具有 阶导数 ，那么存在的一个邻域，对于该邻域内的任一，有；其中称为佩亚诺余项；
• 麦克劳林公式：时，泰勒展开转变为，称为的麦克劳林展开公式；
• 拉格朗日余项：如果函数 f(x)在 的某个邻域内具有 阶导数 ，则对于该邻域内的任一有，这称为拉格朗日型余项；​​

注意

• 泰勒中值定理不要求高阶导数连续，只要求可导；

  • 皮亚诺余项要求在某点处 n 阶导，可以标准展开 n 阶，附带，皮亚诺余项；
  • 拉格朗日余项要求在邻域内 n 阶可导，可以标准展开 n-1 阶，附带拉格朗日余项；

• 两种余项的区别

  • 使用皮亚诺余项一般有，这样皮亚诺余项可以约等于 0，进而忽略；否则皮亚诺余项无法忽略也无法计算；
  • 使用拉格朗日余项一般在区间中，和点可以相隔较远，最后的误差使大致表示并带入运算；

常用的麦克劳林公式：

导数定理

定义

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注意

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极值点在开区间内取得，不能在闭区间的两端取得；

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• 导数不存在第一类间断点和无穷间断点；

• 注意定义的区别，当函数求导存在跳跃间断点或无穷间断点，导致导函数在该点处无定义，则称函数不可导，当函数求导存在震荡间断点，导函数在该点处依然有定义，函数依然可导；

导数的介值定理

求导导致导函数出现间断的情况

这种并不能算是导函数具有无穷间断点，而是在该点处，原函数无对应导数，不可导；

这种并不能算是导函数具有间断点，而是在该点处，原函数无对应导数，不可导；