8.2 Nadaraya-Watson 核回归

平均汇聚注意力

生成数据集

简单起见，考虑下面这个回归问题：给定的成对的“输入－输出”数据集，如何学习来预测任意新输入的输出？根据下面的非线性函数生成一个人工数据集，其中加入的噪声项为：

其中服从均值为和标准差为的正态分布。在这里生成了个训练样本和个测试样本。为了更好地可视化之后的注意力模式，需要将训练样本进行排序。

# 实际函数关系
def f(x):
    return 2 * torch.sin(x) + x**0.8

# 准备训练数据
n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 排序后的训练样本
# 生成训练标签
y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))


# 准备测试数据
# 生成测试样本的等差数列
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)
# 测试样本的真实输出，用于绘制真实基准图
y_truth = f(x_test)
n_test = len(x_test)
print(f"训练样本数: {n_train}, 测试样本数: {n_test}")

先使用最简单的估计器来解决回归问题。基于平均汇聚来计算所有训练样本输出值的平均值：

如下图所示，这个估计器确实不够聪明。真实函数（“Truth”）和预测函数（“Pred”）相差很大。

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot([x_test, x_test, x_train],[y_hat,y_truth, y_train],
	legend=['Predicted', 'Truth', 'Training'],
	x_name="x",y_name="y", file_name="mean.png",line_styles=['-', '-', 'o'])

非参数注意力汇聚

显然，平均汇聚忽略了输入。于是 Nadaraya和Watson提出了一个更好的想法，根据输入的位置对输出进行加权：

函数是核（kernel）。上面公式所描述的估计器被称为 Nadaraya-Watson 核回归（Nadaraya-Watson kernel regression）。其中，对应查询，对应被汇聚的各个项，也就是键，用于计算加权的权重，对应最终被加权求和的值；

‍

我们可以从QKV图中的注意力机制框架的角度重写这个公式，使其成为一个更加通用的注意力汇聚（attention pooling）公式：

其中是查询，是键值对。比较平均汇聚和这个公式，注意力汇聚是的加权平均。将查询和键之间的关系建模为注意力权重（attention weight），这个权重将被分配给键对应的值。通过对各个注意力权重进行softmax操作，保证模型在所有键值对注意力权重都是一个有效的概率分布：它们是非负的，并且总和为 1。

为了更好地理解注意力汇聚，下面考虑一个高斯核（Gaussian kernel），其定义为：

将高斯核代入NW核公式中可以得到如下式子，正好可以写成softmax形式；

值得注意的是，Nadaraya-Watson 核回归是一个非参数模型。上面的式子是非参数的注意力汇聚（nonparametric attention pooling）模型。接下来，我们将基于这个模型来绘制预测结果。从绘制的结果会发现新的模型预测线是平滑的，并且比平均汇聚的预测更接近真实。

#高斯核汇聚

# x_test中每个元素重复n_train次，然后再reshape成n_trainl列的矩阵
# X_repeat的形状:(n_test,n_train)  n_train是训练样本个数，x_train的长度
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))
# 实现高斯核的核心
# X_repeat：第i行是第i个样本的重复
# x_train：一维向量，包含所有训练样本
# X_repeat - x_train：矩阵第i行的第j个元素，是第i个样本减去第j个样本的差
# 每一行是针对一个查询的注意力评分函数，取得对应的权重
attention_weights = nn.functional.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)
# 将注意力评分函数与标签相乘，得到汇聚结果，根据y_train的值进行预测
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot([x_test, x_test, x_train],[y_hat,y_truth, y_train],legend=['Predicted', 'Truth', 'Training'],x_name="x",y_name="y", file_name="attention.png", line_styles=['-', '-', 'o'])

show_heatmaps(attention_weights.reshape((1, 1, n_test, n_train)),
              xlabel='Sorted training inputs', ylabel='Sorted testing inputs',
              filename="attention_heatmap.png")

从绘制出的结果可以看到，预测值已经比较你和真实值了；

现在来观察注意力的权重。这里测试数据的输入相当于查询，而训练数据的输入相当于键。因为两个输入都是经过排序的，因此由观察可知“查询-键”对越接近，注意力汇聚的[注意力权重]就越高。

show_heatmaps(attention_weights.reshape((1, 1, n_test, n_train)),
              xlabel='Sorted training inputs', ylabel='Sorted testing inputs',
              filename="attention_heatmap.png")

带参数的注意力汇聚

非参数的 Nadaraya-Watson 核回归具有一致性（consistency）的优点：如果有足够的数据，此模型会收敛到最优结果。此外，我们还可以将可学习的参数集成到注意力汇聚中。

例如，与非参数注意力略有不同，在下面的查询和键之间的距离乘以可学习参数：

本节的余下部分将通过训练这个模型来学习注意力汇聚的参数。

批量矩阵乘法

为了更有效地计算小批量数据的注意力，我们可以利用深度学习开发框架中提供的批量矩阵乘法。

假设第一个小批量数据包含个矩阵，形状为，第二个小批量包含个矩阵，形状为。它们的批量矩阵乘法得到个矩阵，形状为。因此，假定两个张量的形状分别是和，它们的批量矩阵乘法输出的形状为****]。

X = torch.ones((2, 1, 4))
Y = torch.ones((2, 4, 6))
torch.bmm(X, Y).shape

在注意力机制的背景中，我们可以使用小批量矩阵乘法来计算小批量数据中的加权平均值。

# 两行，每行十个weight （2，10）
weights = torch.ones((2, 10)) * 0.1
# 两行，每行十个value （2，10）
values = torch.arange(20.0).reshape((2, 10))
# 对上面两个矩阵增维，weight：（2，1，10），value（2，10，1）
# 权重矩阵两行，每行一个行向量，值矩阵两行，每行一个列向量；然后进行批量矩阵乘法
torch.bmm(weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1))

定义模型

基于带参数的注意力汇聚，使用小批量矩阵乘法，定义 Nadaraya-Watson 核回归的带参数版本为：

class NWKernelRegression(nn.Module):
    def __init__(self, **kwargs):
        super().__init__(**kwargs)
        self.w = nn.Parameter(torch.rand((1,), requires_grad=True))

    def forward(self, queries, keys, values):
        # 键、值的形状：（1，x），x表示个数
		# 将批量中的多个查询展平，然后每个元素重复x次，然后每行只保留一个查询的x次重复
        queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))
		# 实现参数注意力汇聚的核心
        self.attention_weights = nn.functional.softmax(
            -((queries - keys) * self.w)**2 / 2, dim=1)
        # 将权重和标签进行汇集
        return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1),
                         values.unsqueeze(-1)).reshape(-1)

训练

接下来，将训练数据集变换为键和值用于训练注意力模型。在带参数的注意力汇聚模型中，任何一个训练样本的输入都会和除自己以外的所有训练样本的“键－值”对进行计算，从而得到其对应的预测输出。

# X_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输入
X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
# Y_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输出
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))
# (1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)是一个布尔矩阵，主对角线元素为False，其他元素为True
# 使用布尔索引，获得X_tile中对应元素的值，reshape成n_train个行的矩阵
# keys的形状:(n_train，n_train-1)，每一行包含
keys = X_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))
# values的形状:('n_train'，'n_train'-1)
values = Y_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))

训练带参数的注意力汇聚模型时，使用平方损失函数和随机梯度下降。

net = NWKernelRegression()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])

for epoch in range(5):
    trainer.zero_grad()
    l = loss(net(x_train, keys, values), y_train)
    l.sum().backward()
    trainer.step()
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(l.sum()):.6f}')
    animator.add(epoch + 1, float(l.sum()))

如下所示，训练完带参数的注意力汇聚模型后可以发现：在尝试拟合带噪声的训练数据时，预测结果绘制的线不如之前非参数模型的平滑。

与非参数的注意力汇聚模型相比，带参数的模型加入可学习的参数后，曲线在注意力权重较大的区域变得更不平滑。

show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                xlabel='Sorted training inputs', ylabel='Sorted training inputs',
                filename="param_attention_heatmap.png")

‍

‍